Question

14．已知O为坐标原点，F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F做x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y轴于点E，连结AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．

解答 解：由题意可得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（a，0），可得BP的方程为：y=-$\frac{{b}^{2}}{a（a+c）}$（x-a），
x=0时，y=$\frac{{b}^{2}}{a+c}$，E（0，$\frac{{b}^{2}}{a+c}$），A（-a，0），
则AE的方程为：y=$\frac{{b}^{2}}{a（a+c）}$（x+a），则M（-c，-$\frac{{b}^{2}（c-a）}{a（a+c）}$），
M是线段QF的中点，
可得：2$\frac{{b}^{2}（c-a）}{a（a+c）}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即2c-2a=a+c，
可得e=3．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．