Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=

2π

3

．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则

|MN|

|AB|

的最大值是（　　）

• A、

  3

• B、

  3

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，
连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（

a+b

2

） ²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

a+b 2

3 2 (a+b)

=

3

3

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

3

3

．
故选C．

点评：本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．