Question

已知a，b∈R，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx²+4x-5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线．
（1）求a，b的值；
（2）（2）证明：当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；
（3）当x∈（0，k]时，不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=a（lnx+1）+

2

x

，g′（x）=2bx+4；从而可得b+4-5=0，a+2=2b+4；从而求参数的值；
（2）要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，只证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）-g（x），从而求导F′（x）=4lnx+

4x+2

x

-2x-4=4lnx+

2

x

-2x；从而化为恒成立问题，再转化为最值问题．（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；故不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x²+4x-5，从而构造函数H（x）=2（2k+1）lnx-x²-4x+5，讨论求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=a（lnx+1）+

2

x

，g′（x）=2bx+4；
∴f′（1）=a+2，g′（1）=2b+4；
又∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在点（1，0）处有相同的切线，
∴f（1）=0=g（1）=b+4-5，f′（1）=g′（1）；
即b+4-5=0，a+2=2b+4；
从而解得，b=1，a=4；
（2）证明：要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，
即需证f（x）＜g（x）（x≠1），
不妨设F（x）=f（x）-g（x），
则F（x）=（4x+2）lnx-x²-4x+5；
∴F′（x）=4lnx+

4x+2

x

-2x-4=4lnx+

2

x

-2x；
令G（x）=F′（x），
∴G′（x）=

4

x

-

2

x2

-2≤0恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵F′（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0；
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
即当x=1时，F（x）取得最大值F（1）=0．
∴当x≠1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）；
∴当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；
（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；
∴不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x²+4x-5，
构造函数H（x）=2（2k+1）lnx-x²-4x+5，
∴H′（x）=

-2x2-4x+4k+2

x

，
在二次函数y=-2x²-4x+4k+2中，开口向下，对称轴为x=-1；
且过定点（0，4k+2）；
解-2x²-4x+4k+2=0得，x=-1-

2k+2

（舍去）；x=-1+

2k+2

；
①当-1+

2k+2

＜k时，即k＜-1（舍去）或k＞1；
②当-1+

2k+2

=k时，k=1；经检验成立；
③当-1+

2k+2

＞k时，0＜k＜1，
当x∈（0，k）时，H′（x）＞0，
∴H（x）在（0，k]时取得最大值记为H₂（k）=2（2k+1）lnk-k²-4k+5，
由（2）可知，H₂（k）的图象与F（x）的图象相同，
∴0＜k＜1时，H₂（k）＜H₂（1）=0，原不等式恒成立；
综上所述，实数k的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．