题目内容
1．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2-ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．
解答 解：抛物线y2=2px的焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得|MF|=1+$\frac{p}{2}$=5，解得p=8，
可得抛物线的方程为y2=16x，M（1，4），
双曲线x2-ay2=a的左顶点为A（-$\sqrt{a}$，0），
直线AM的斜率为$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
又双曲线的渐近线方程为y=$\frac{1}{\sqrt{a}}$x，
由题意可得，$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
解得a=$\frac{1}{9}$，
故选A．
点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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9．函数y=cos（lnx）的导数y′=（ ）
| A． | ln（sinx） | B． | sin（lnx） | C． | -$\frac{1}{x}$sin（lnx） | D． | $\frac{1}{x}$sin（lnx） |
16．下列幂函数中，定义域是R且又是奇函数的是（ ）
| A． | $y={x^{\frac{3}{2}}}$ | B． | $y={x^{\frac{2}{3}}}$ | C． | $y={x^{-\frac{1}{3}}}$ | D． | $y={x^{\frac{1}{3}}}$ |