Question

如图，正四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为

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倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接SO，可证SO⊥AC，又SO∩BD=O，可证明AC⊥平面SBD，又SD?平面SBD，即可证明AC⊥SD．
（Ⅱ）连接OP，可证OP⊥SD，又△SBD中，BD=

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a=SB，且F为SD中点，可证BF⊥SD，由OP，BF?平面BDF，可证OP∥BF，又OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，即可证明BF∥平面PAC．

解答： 证明：（Ⅰ）连接SO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD且O为AC中点，
又∵SA=SC    
∴SO⊥AC
又∵SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBD，（5分）
又∵SD?平面SBD，
∴AC⊥SD．（7分）
（Ⅱ）连接OP，
∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP，
∴OP⊥SD，（9分）
又△SBD中，BD=

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a=SB，且F为SD中点，∴BF⊥SD，
因为OP，BF?平面BDF，所以OP∥BF，（11分）
又∵OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，
∴BF∥平面PAC．（13分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．