Question

若实数a、b、c、d满足

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由

a2-lna

b

=

c-4

d

=1可知点P（a，b）是曲线f（x）=x²-lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=x-4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x²-lnx上的点P（a，b）且与线y=x-4平行时，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答： 解：∵

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，
∴点P（a，b）是曲线f（x）=x²-lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=x-4上的点，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，当且仅当过曲线y=x²-lnx上的点P（a，b）且与y=x-4平行时．
∵f′（x）=

2x2-1

x

（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞

2

2

；由f′（x）＜0得0＜x＜

2

2

．
∴当x=

2

2

时，f（x）取得极小值．
由

2x2-1

x

=1，可得x=1（负值舍去）
∴点P（1，1）到直线y=x-4的距离为d=

|1-1-4|

2

=2

2

，则d²=8．
∵|PQ|²≥d²=8，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为8．
故答案为：8

点评：本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x²-lnx上的点，Q（c，d）是直线y=x-4上的点，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．