Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+

1

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意可得2Sn=n2+n，n=1时a₁=1；n≥2时可求得a_n=S_n-S_n-1=n，验证n=1符合后即可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+（n-1）•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，

1

2

T_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1；利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（I）∵点(n，Sn)(n∈N*)在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n，即2Sn=n2+n，①
n=1时a₁=1；
n≥2时2Sn-1=(n-1)2+(n-1)，②
故2（S_n-S_n-1）=2n，即a_n=n．
经验证n=1符合上式，故a_n=n．
（II）∵bn=n(

1

2

)n，
∴T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+（n-1）•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

T_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1；
∴

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴T_n=2-（n+2）(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列通项公式的确定与错位相减法求数列的和，属于中档题．