题目内容
已知在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，P为∠ABC的平分线上，∠PCA=20°，BP交AC于点M，CP交AB于点N．求证：PM=NA．
考点：解三角形的实际应用
专题：解三角形
分析：在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连接DP，DC．由于BP平分∠ABC，由对称性可得PD=PC．∠DPC=60°，△PDC是正三角形．在△ACD中，根据∠ADC=70°=∠CAD，可得AC=DC．在△PCA中，由∠PCA=20°，可知∠PAC=80°．从而∠PAB=30°．在△AMP中，由正弦定理可得：
=
．在△ANP中，由正弦定理可得：
=
．即可得出．
| PM |
| sin80° |
| PA |
| sin50° |
| AN |
| sin100° |
| PA |
| sin50° |
解答：
证明：在BA延长线上取一点D，使BD=BC，连接DP，DC．
∵BP平分∠ABC，
可知C点与点D关于BP对称，
∴PD=PC．
∵∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，
∴△PDC是正三角形，PC=DC．
在△ACD中，∵∠ADC=70°=∠CAD，
∴AC=DC，
∴AC=PC．
在△PCA中，∵∠PCA=20°，
∴∠PAC=80°．
∴∠PAB=∠BAC-∠PCA=110°-80°=30°．
在△AMP中，由正弦定理可得：
=
．
在△ANP中，由正弦定理可得：
=
．
∴PM=AN．
∵BP平分∠ABC，
可知C点与点D关于BP对称，
∴PD=PC．
∵∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，
∴△PDC是正三角形，PC=DC．
在△ACD中，∵∠ADC=70°=∠CAD，
∴AC=DC，
∴AC=PC．
在△PCA中，∵∠PCA=20°，
∴∠PAC=80°．
∴∠PAB=∠BAC-∠PCA=110°-80°=30°．
在△AMP中，由正弦定理可得：
| PM |
| sin80° |
| PA |
| sin50° |
在△ANP中，由正弦定理可得：
| AN |
| sin100° |
| PA |
| sin50° |
∴PM=AN．
点评：本题考查了角平分线的对称性、等边三角形的性质、正弦定理的应用、三角形的外角性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∪B=（ ）
| A、{6，7，8} |
| B、{1，4，5，6，7，8} |
| C、{2，3} |
| D、{1，2，3，4，5} |
如图中阴影部分表示的集合是（ ）
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| B、A∩（∁UB） |
| C、∁U（A∩B） |
| D、∁B（A∩B） |
已知A=