Question

已知函数f（x）=ax³+bx²，当x=1时，f（x）的极值为3．
（1）求a，b的值；
（2）求该函数的解析式；
（3）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+mx＜0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求导数，根据f（1）=3，f′（1）=0列出方程求出a，b；
（2）结合（1）可得f（x）；
（3）是一个不等式恒成立问题，先将m分离出来，然后转化为函数的最值问题来解．

解答： 解（1）因为f（x）=ax³+bx²，所以f′（x）=3ax²+2bx．
又因为当x=1时，f（x）的极值为3，所以

a+b=3 3a+2b=0

，
解得a=-6，b=9．
（2）由（1）可知f（x）=-6x³+9x²．
所以f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1）．
令f′（x）＞0得，0＜x＜1；令f′（x）＜0得x＜0或x＞1．
故原函数的增区间为[0，1]，减区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由已知得f（x）+mx＜0在（0，+∞）上恒成立．
即-6x³+9x²+mx＜0在（0，+∞）上恒成立．
整理得m＜6x²-9x=6（x-

3

4

）²-

27

8

（x＞0）恒成立．
显然x=

3

4

时，上式右边二次函数取得最小值-

27

8

．
故m＜-

27

8

即为所求．

点评：本题考查了导数在研究函数单调性、极值时的应用．第三问涉及到的不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题来解，能分离参数的尽量分离参数．