Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx，g（x）=2x-1．
（1）当a=1时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方，试求实数b 的取值范围；
（2）若y=f（x）对任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的图象经过  点A（1，$\frac{2}{3}$）．
①求函数y=f（x）的解析式；
②若对任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，试求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方，则x²+bx＞2x-1，即x²+（b-2）x+1＞0恒成立，即△=（b-2）²-4＜0，解得实数b 的取值范围；
（2）①若y=f（x）对任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的图象经过  点A（1，$\frac{2}{3}$）．则$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=-1\\ a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，解得：a，b的值，可得函数y=f（x）的解析式；
②若对任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，则对任意x＜-3，都有k＞$\frac{18x-9}{4x+8}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$成立，进而可得实数k的最小值．

解答 解：（1）a=1时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方，
则x²+bx＞2x-1，即x²+（b-2）x+1＞0恒成立，
即△=（b-2）²-4＜0，
解得：b∈（0，4）；
（2）①若y=f（x）对任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的图象经过  点A（1，$\frac{2}{3}$）．
则$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=-1\\ a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9}\\ b=\frac{4}{9}\end{array}\right.$，
∴y=f（x）=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x，
②若对任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，
则对任意x＜-3，都有2k（$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$）＜2x-1成立，
则对任意x＜-3，都有k＞$\frac{18x-9}{4x+8}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$成立，
由x＜-3时，$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$∈（$\frac{9}{2}$，$\frac{63}{4}$），
∴k≥$\frac{63}{4}$，
故实数k的最小值为$\frac{63}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．