Question

11．设直线系M：xcosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列说法：
（1）M中所有直线均经过一个定点；
（2）存在一个圆与所有直线不相交；
（3）对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中说法正确的是（2）、（3） （填序号）．

Answer 1

分析 先弄清直线系M中直线的特征，直线系M表示圆 x²+（y-1）²=1 的切线的集合，再判断各个结论的正确性．

解答 解：（1）由直线系M：xcosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ≤2π），
可令   $\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ可得  x²+（y-1）²=1，故 直线系M表示圆 x²+（y-1）²=1 的
切线的集合，故（1）不正确．
（2）因为xcosθ+（y-1）sinθ=1所以点P（0，1）到M中每条直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}}$=1，
即M为圆C：x²+（y-1）²=1的全体切线组成的集合，
所以存在圆心在（0，1），
小于1的圆与M中所有直线均不相交，故（2）正确；
（3）由于圆 x²+（y-1）²=1 的外切正n 边形，所有的边都在直线系M中，
故（3）正确．
（4）M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中等边三角形ABC和 ADE面积不相等，故（4）不正确．
综上，正确的命题是 （2）、（3），
故答案为：（2）、（3）．

点评 本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x²+（y-1）²=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．