Question

1．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点为F（1，0）且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）若垂直于x轴的动直线与椭圆交于A，B两点，直线l：x=3与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上．

Answer 1

分析 （1）由题意可知焦点在x轴上，c=1，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2，即可求得椭圆的方程；
（2）若动直线AB经过点F，显然成立，若动直线AB不经过点F，则直线AF方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），直线BN方程为：y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3），即可求得M坐标，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$，求得$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=1，即可证明点M恒在椭圆C上．

解答 解：（1）由椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点为F（1，0）可知：焦点在x轴上，c=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=3-1=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：若动直线AB经过点F，显然成立，
若动直线AB不经过点F，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴则直线AF方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），直线BN方程为：y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}}\\{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=$\frac{8{x}_{1}^{2}-24{x}_{1}+18+3{y}_{1}^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$，
∴由A在椭圆上，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1$，即3${y}_{1}^{2}$=6-2${x}_{1}^{2}$，
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=$\frac{8{x}_{1}^{2}-24{x}_{1}+18+6-2{x}_{1}^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\frac{6（{x}_{1}-2）^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$=1，
∴M点恒在椭圆C上．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，直线的交点的求法，考查计算能力，属于中档题．