Question

19．已知函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{5π}{6}$）+2$\sqrt{3}$sinωx的最小正周期T=π
（1）求出ω的值；
（2）求f（x）得单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）根据f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{5π}{6}$）+2$\sqrt{3}$sinωx=2sinωx•（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-2cosωx•$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{3}$sinωx
=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$） 的最小正周期T=|$\frac{2π}{ω}$|=π，∴ω=±2．
（2）①当ω=2时，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
②当ω=-2，f（x）=2sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的减区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．