Question

12．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函数．
（3）由式f（x+1）-f（2-x）≤0得式f（x+1）≤f（2-x），
由（2）函数是偶函数，
则不等式等价为f（|x+1|）≤f（|2-x|），
∵x≥0时f（x）为增函数，
∴不等式等价为|x+1|≤|2-x|，
平方得x²+2x+1≤x²-4x+4，
即6x≤3，即x≤$\frac{1}{2}$，
即满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，