Question

1．平面直角坐标系xOy中，圆M：（x-2）²+y²=1，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（1）求圆M的极坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）设l与圆M相切于点A，且在第三象限内与C交于点N，求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得到⊙M的极坐标方程．利用sin²α+cos²α=1可得曲线C的普通方程．
（2）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R），化为直角坐标方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．分别与圆的方程、椭圆的方程联立可得点A，N的坐标，利用两点之间的距离可得|AN|，再利用点到直线的距离公式可得：点M（2，0）到直线l的距离d，利用S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AN|d即可得出．

解答 解：（1）圆M：（x-2）²+y²=1，展开为：x²+y²-4x+3=0，化为极坐标方程：ρ²-4ρcosθ+3=0．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用sin²α+cos²α=1可得：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R），化为直角坐标方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得N$（-\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
∴|AN|=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$2\sqrt{3}$．
点M（2，0）到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=1．
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AN|d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线与圆及其椭圆的位置关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．