Question

15．已知，△ABC内有一点F，分别以AB、AC为底边向外作等腰三角形DAB、AEC，且∠BAD=∠BCF，∠ACE=∠CBF．求证：DE平分AF．

Answer 1

分析 如图，延长AD至M，延长AE至N，使得AD=MD，AE=EN，连接MB，NC、MN，作AP⊥MN，连接PB，PC，PF，利用等腰三角形与四点共圆的性质先证明点F在直线MN上，再利用三角形中位线定理即可证明．

解答 证明：如图，延长AD至M，延长AE至N，使得AD=MD，AE=EN，
连接MB，NC、MN，作AP⊥MN，
连接PB，PC，PF，先证明点F在直线MN上，∵AD=MD=BD，∴MB⊥AB，
同理可得：CN⊥AC．又AP⊥MN，
可得A，M，B，P四点共圆，
可得A，N，C，P四点共圆，
可得：∠MPB=∠MAB=∠FCB，∠CPN=∠NAC=∠FBC，
∴∠BPC=180°-∠FBC-∠FCB，又∠BFPC=180°-∠PBC-∠FCB，
∴∠BPC=∠BFC，∴B，C，F，P四点共圆，
∴∠BPF+∠BCF=180°，∴∠BPM+∠BPF=180°，
∴M，P，F三点共线．即点F在直线MN上．
又AD=MD，AE=EN，
∴DE为△AMN的中位线，∴DE平分AF．

点评 本题考查了等腰三角形与四点共圆的性质、三角形中位线定理、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．