Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=$\sqrt{2}$，且它的一个顶点到较近焦点的距离为$\sqrt{2}$-1，则双曲线C的方程为x²-y²=1．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的几何性质分析可得

解答 解：根据题意，双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\sqrt{2}$，
则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
即a²=b²，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
又由它的一个顶点到较近焦点的距离为$\sqrt{2}$-1，
则有c-a=$\sqrt{2}$-1，即$\sqrt{2}$a-a=$\sqrt{2}$-1，
解可得a=1，
则b=1，
则双曲线的方程为：x²-y²=1；
故答案为：x²-y²=1．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的几何性质构造方程组．