Question

20．为了解人们对城市治安状况的满意度，某部门对城市部分居民的“安全感”进行调查，在调查过程中让每个居民客观地对自己目前生活城市的安全感进行评分，并把所得分作为“安全感指数”，即用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示安全感越高．现随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

安全感指数	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
男居民人数	8	16	226	131	119
女居民人数	12	14	174	122	178

根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）估算该地区居民安全感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指数不小于60，则认为其安全感好．为了进一步了解居民的安全感，调查组又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，计算该地区居民安全感指数的平均值即可；
（Ⅱ）计算男、女居民安全感好的概率，由此求出一对夫妻都安全感好的概率；
得出X的可能取值，求出对应概率值，写出分布列，计算数学期望．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，计算该地区居民安全感指数的平均值为
10×0.02+30×0.03+50×0.4+70×0.253+90×0.297=65.54；…（5分）
（Ⅱ）男居民安全感好的概率为$\frac{131+119}{500}=0.5$，
女居民安全感好的概率为$\frac{122+178}{500}=0.6$，
故一对夫妻都安全感好的概率为0.5×0.6=0.3；…（7分）
因此X的可能取值为0，1，2，3，
且X～B（3，0.3）；
于是$P（x=k）=C_3^k×{0.3^k}×{（1-0.7）^{3-k}}（k=0，1，2，3）$；…（9分）
X的分布列为

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

…（11分）
∴数学期望为E（X）=np=3×0.3=0.9．…（12分）

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．