已知直线l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}$(其中t为参数.α为倾斜角)．以坐标原点O为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．(1)求C的直角坐标方程.并求C的焦点F的直角坐标,.若直线l与C相� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}$（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；
（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=2，求△FAB的面积．

分析（1）原方程变形为ρ²sin²θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐标方程．
（2）把l的方程代入y²=x得t²sin²α-tcosα-1=0，利用根与系数的关系及其已知可得：|t₁-t₂|=2|t₁t₂|，平方得${（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4t_1^2t_2^2$，可得sin²α=1，即可得出．

解答解：（1）原方程变形为ρ²sin²θ=ρcosθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C的直角坐标方程为y²=x，其焦点为$F（{\frac{1}{4}，0}）$．
（2）把l的方程代入y²=x得t²sin²α-tcosα-1=0，
则${t_1}+{t_2}=\frac{cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{1}{{{{sin}^2}α}}$，①
$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=2?|{PA}|+|{PB}|=2|{PA}|•|{PB}|$，
即|t₁-t₂|=2|t₁t₂|，
平方得${（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4t_1^2t_2^2$，②
把①代入②得$\frac{{{{cos}^2}α}}{{{{sin}^4}α}}+\frac{4}{{{{sin}^2}α}}=\frac{4}{{{{sin}^4}α}}$，∴sin²α=1，
∵α是直线l的倾斜角，∴$α=\frac{π}{2}$，
∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2，
点F到AB的距离d=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
∴△FAB的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|×d=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．