Question

已知抛物线y²=2px的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的两条渐近线分别交于M，N两点，O为坐标原点，△MON的面积为

3

，点P（x，y）为抛物线C上的动点，又点A（-1，0），F为抛物线的焦点，则

|PF|

|PA|

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的两条渐近线方程为y=±

3

x，抛物线y²=2px的准线x=-

p

2

，利用△MON的面积为

3

，求出抛物线的方程，

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

利用换元法，即可得出结论．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的两条渐近线方程为y=±

3

x，抛物线y²=2px的准线x=-

p

2

，
∵△MON的面积为

3

，
∴

1

2

•

3

p•

p

2

=

3

，
∴p=2，
∴y²=4x，
设P（x，y），则y²=4x，
∵定点A（-1，0），F（1，0），
∴

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

设t=

1

x+1

，x≥0，0＜t≤1，
∴

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，
当t=

1

2

时，g（t）=-4t²+4t+1最大值为2，
∴

1

-4t2+4t+1

最小值为

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查抛物线的方程，考查换元法，转化为二次函数的性质求解，属于中档题．