Question

袋子共装有9个球，其中4个白球，4个黄球，1个黑球，每次从袋中取出一个球（不放回，且每球取到的机会均等），直到当袋中的白球数小于2个或黄球数小于2个时才停止取球，记随机变量ξ表示取球的次数．
（Ⅰ）求当ξ=3时的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（I）若ξ=3，则即三次都取白球，或都取黄球，利用排列数即可求出其概率．
（II）由题中ξ的取值可能是3，4，5，6，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）当ξ=3时，即三次都取白球，或都取黄球，则P(ξ=3)=

A 3 4

A 3 9

×2=

2

21

…（3分）
（Ⅱ）由题意得ξ的所有可能取值为3，4，5，6；…（4分）
P(ξ=4)=

C 1 5 C 1 3 A 3 4

A 4 9

×2=

5

21

，
P(ξ=5)=

C 2 5 A 2 4 A 3 4

A 5 9

×2=

8

21

，
P(ξ=6)=

C 2 4 A 3 5 A 3 4

A 6 9

×2=

2

7

…（7分）
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	3	4	5	6
P	2 21	5 21	8 21	2 7

所以E(ξ)=

2

7

+

20

21

+

40

21

+

12

7

=

34

7

…（9分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．