Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用恒等式a_n+1=2S_n+1构造出a_n=2S_n-1+1两者作差得出a_n+1=3a_n，数列的{b_n}的求解根据题意列出方程求d即可；
（2）中数列求和，利用错位相减法，即可得到结论

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N^*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），
（2）由（1）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ②
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ，
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2×

3-3n

1-3

-（2n+1）3ⁿ=3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．