Question

设S_n表示数列{a_n}的前n项和.

(1)若{a_n}是等差数列,推导S_n的计算公式;

(2)若a₁=1,q≠0,且对所有正整数n,有S_n=.判断{a_n}是否为等比数列,并证明你的结论.

Answer 1

解:(1)设{a_n}的公差为d,

则S_n=a₁+a₂+…+a_n

=a₁+(a₁+d)+…+[a₁+(n-1)d],

又S_n=a_n+(a_n-d)+…+[a_n-(n-1)d],

∴2S_n=n(a₁+a_n),

∴S_n=.

(2)当n=1时,S₁=1.

当n=2时,S₂==1+q,a₁+a₂=1+q,a₂=q.

当n=3时,S₃==1+q+q²,a₁+a₂+a₃=1+q+q²,a₃=q²;

初步断定数列{a_n}为等比数列.

证明如下:

∵S_n=,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=-

==qⁿ.

∵a₁=1,q≠0,

∴当n≥1时,有==q,

因此,{a_n}是首项为1且公比为q的等比数列.