Question

20．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x+1，x≥0}\\{2x+1，x＜0}\end{array}}\right.$，若f（sinα+sinβ+sinr-1）=-1，f（cosα+cosβ+cosr+1）=3，则cos（α-β）+cos（β-r）的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 根据题意，先判定x≥0时f（x）≥1，x＜0时f（x）＜1，结合条件代入解析式列出两个式子，利用平方关系化简后，由两角差的余弦函数求出cos（α-β）、cos（β-r）的值，可得答案．

解答 解：由题意知，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x≥0}\\{2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
∴x≥0时，x²+x+1≥1，x＜0时，2x+1＜1；
∵f（sinα+sinβ+sinr-1）=-1，f（cosα+cosβ+cosr+1）=3，
∴2（sinα+sinβ+sinr-1）+1=-1，即sinα+sinβ=-sinr；    ①
（cosα+cosβ+sinr+1）²+（cosα+cosβ+cosr+1）+1=3，
得cosα+cosβ+cosr+1=1，即cosα+cosβ=-cosr；  ②
①²+②²得，2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=$-\frac{1}{2}$，即cos（α-β）=$-\frac{1}{2}$，
同理可求得，cos（β-r）=$-\frac{1}{2}$，
∴cos（α-β）+cos（β-r）=-1，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的应用，两角差的余弦函数，以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．