Question

10．已知F是双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦点，P是C左支上一点，$A（{0，6\sqrt{6}}）$，则△APF周长最小值为32．

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的左焦点为F'，
由双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$，可得a=1，b=2$\sqrt{2}$，c=3，
即有F（3，0），F'（-3，0），|AF|=|AF'|=15，
△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
当P在左支上运动到A，P，F'共线时，
|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=15，
则有△APF周长的最小值为15+15+2=32．
故答案为：32．

点评 本题考查三角形的周长的最小值，注意运用双曲线的定义和三点共线时取得最小值，考查运算能力，属于中档题．