在直角坐标系xOy中.已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$.点M($\frac{\sqrt{6}}{2}$.$\frac{1}{2}$)在曲线C上.且对应的参数α=$\frac{π}{6}$．(1)以原点O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的极坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α为参数），点M（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在曲线C上，且对应的参数α=$\frac{π}{6}$．
（1）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为$\sqrt{3}$的直线l，交曲线C于A、B两点，求直线l的参数方程及|PA|+|PB|的值．

分析（1）由椭圆参数方程可得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$=acos$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$=bsin$\frac{π}{6}$，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，进而可化为极坐标方程．
（2）由已知可得直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|+|PB|的值．

解答解：（1）由曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α为参数），
可得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$=acos$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$=bsin$\frac{π}{6}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，其直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
其极坐标方程为：ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（2）∵直线l点P（0，2）且斜率为$\sqrt{3}$，
故直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的方程可得：$\frac{7}{8}$t²+（2$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$）t+$\frac{7}{2}$=0，
∴|PA|+|PB|=|t₁+t₂|=$\frac{16\sqrt{3}+4}{7}$

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

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