Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

an-1

1+an-1

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；猜想数列的通项公式a_n
（2）设b_n={a_na_n+1}，求数列{b_n}的前n项和S_n．
18或者换成数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

3

（a_n-1）．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；  （2）求a_n及S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接由数列递推式求得a₂、a₃、a₄、a₅并猜想数列的通项公式a_n；
（2）直接利用裂项相消法求数列的和；
（1）在数列递推式中取n=1求得首项，取n=n-1得另一递推式，作差后可证得数列{a_n}是等比数列；
（2）直接由等比数列的通项公式和前n项和公式得答案．

解答： 解：（1）由a₁=1，a_n=

an-1

1+an-1

，得
a2=

1

2

，a3=

1

3

，a4=

1

4

，a5=

1

5

．
猜测an=

1

n

；
（2）bn=anan+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{b_n}的前n项和S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
或（1）证明：由S_n=

1

3

（a_n-1），得
a1=S1=

1

3

(a1-1)，即a1=-

1

2

．
当n≥2时，Sn-1=

1

3

(an-1-1)，
两式作差得：an=

1

3

an-

1

3

an-1，
即an=-

1

2

an-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以-

1

2

为首项，-

1

2

为公比的等比数列；
（2）an=-

1

2

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
Sn=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

1

3

[1-(-

1

2

)n]．

点评：本题考查了由数列递推式求数列的项，考查了裂项相消法求数列的和，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式和前n项和，是中档题．