Question

14．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B-AD-C，如图2．
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD．
（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角．

解答 证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，
又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．
解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，
∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，
连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2$\sqrt{3}$，CD=6，DF=3，
在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，
则BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2$\sqrt{7}$，
∴BE=$\sqrt{7}$，∴cos$∠CBD=\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
在△BDE中，DE²=BD²+BE²-2BD•BE•cos∠CBD=13，
在Rt△ADE中，cos∠AEF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AEF=60°，'
∴异面直线AE与BD所成的角为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．