Question

6．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中第二、三、四项的二项式系数，再根据这3个系数成等差数列，求得n的值．
（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，得到r的值不是非负整数，可得展开式无常数项．

解答 解：（Ⅰ）由于（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为${C}_{n}^{1}$，${C}_{n}^{2}$，${C}_{n}^{3}$，
由题意可得：2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，解得n=7．
（Ⅱ） ${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^7}$展开式的通项公式为${T_{r+1}}=C_7^r{（\sqrt{x}）^{7-r}}{（\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^r}={2^r}C_7^r{x^{\frac{7-2r}{2}}}$，

令$\frac{7-2r}{2}=0$，解得$r=\frac{7}{2}$（舍去），故展开式无常数项．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．