Question

2．已知长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的高为$\sqrt{2}$，两个底面均为边长为1的正方形．
（1）求证：BD∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求异面直线A₁C与AD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结B₁D₁，推导邮四边形B₁BDD₁为平行四边形，从而BD∥B₁D₁，由此能证明BD∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）由：AD∥A₁D₁，知∠CA₁D₁或其补角是A₁C与AD所成角，由此能求出异面直线A₁C与AD所成角．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）连结B₁D₁，∵A₁B₁C₁D₁-ABCD是长方体，
∴B₁B∥D₁D且B₁B=D₁D，
∴四边形B₁BDD₁为平行四边形，∴BD∥B₁D₁，
∵B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，BD?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BD∥平面A₁B₁C₁D₁．…（6分）
解：（2）由长方体的性质得：AD∥A₁D₁，
∴∠CA₁D₁或其补角是A₁C与AD所成角．
连结D₁C，∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴A₁D₁⊥D₁C，
在Rt△A₁D₁C中，A₁D₁=1，$C{D_1}=\sqrt{C{D^2}+{D_1}{D^2}}=\sqrt{3}$，
∴$tan∠CA{\;}_1{D_1}=\frac{{C{D_1}}}{{{A_1}{D_1}}}=\sqrt{3}$，∴$∠CA{\;}_1{D_1}=6{0^0}$，
即异面直线A₁C与AD所成角为60⁰．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．