Question

已知F₁，F₂是椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点，F₁是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=

5

3

（1）求椭圆C₁的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C于A，B两点，若椭圆C上一点P满足

OA

+

OB

=λ

OP

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由C₂：x²=4y，知F₁（0，1），c=1，设M（x₀，y₀），x₀＜0，由已知条件推导出x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）由直线l：y=k（x+t），t≠0与圆x²+（y+1）²=1相切，求出k=

2t

1-t2

，且t²≠1，联立y=k（x+t）与

y2

4

+

x2

3

=1，得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）由C₂：x²=4y，知F₁（0，1），c=1，设M（x₀，y₀），x₀＜0，
∵M在抛物线C₂上，∴x0 2=4y₀，①
又|MF₁|=

5

3

，∴y0+1=

5

3

，②
由①②得x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

，
∵点M在椭圆上，
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=

5

3

+

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 +1)2

=4，
∴a=2，b²=4-1=3，
∴椭圆C₁的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）由直线l：y=k（x+t），t≠0与圆x²+（y+1）²=1相切，
∴

|kt+1|

1+k2

=1，∵k≠0，∴k=

2t

1-t2

，且t²≠1，③
联立y=k（x+t）与

y2

4

+

x2

3

=1，
消去y得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6k2t

4+3k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2kt=

8kt

4+3k2

，
∵λ

OP

=

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，
∴P（

-6k2t

(4+3k2)λ

，

8kt

(4+3k2)λ

），
又点P在椭圆C₁上，∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2t2

(4+3k2)2λ2

=1，
∴λ2=

4k2t2

4+3k2

，④
由kt≠0，
把③代入④，得λ2=

4

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

，又t≠0，t²≠1，
∴(

1

t2

)2+

1

t2

+1＞0，且(

1

t2

)2+

1

t2

+1≠3，
∴0＜λ²＜4，且λ2≠

4

3

，
∴λ的取值范围是（-2，-

2 3

3

）∪（-

2 3

3

，0）∪（0，

2 3

3

）∪（

2 3

3

，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．