Question

已知等差数列{a_n}首项a₁=1，公差为d，且数列{2  a n}是公比为4的等比数列，
（1）求d；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（3）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{2an}是公比为4的等比数列，即可求d；
（2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（3）利用裂项法求数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{2an}是公比为4的等比数列，
∴

2an+1

2an

=2an+1-an=2d=4，求得d=2…（4分）
（2）由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n2…（8分）
（3）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
则Tn=b 1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

 )]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，突出考查解方程组与裂项求和，属于中档题．