Question

设双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是(

1

3

，0)；又直线l：y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，推导出

c a =2 a= 1 3

，由此能求出双曲线C的标准方程．
（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x²-y²=1后，整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由已知条件x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出存在实数k，使得以AB为直径的圆经过坐标原点．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
离心率为2，其一个顶点的坐标是(

1

3

，0)，
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

c a =2 a= 1 3

，解得a=

3

3

，c=

2 3

3

，
b²=（

2 3

3

）²-（

3

3

）²=1，
∴双曲线C的标准方程为3x²-y²=1．
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点．
将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x²-y²=1后，
整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，…①
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，
∴

k2-3≠0 △=(2k)2-8(k2-3)＞0

，
解得k的取值范围是-

6

＜k＜

6

，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则由①式得

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2= 2 k2-3

，…②
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点（0，0），
则由FA⊥FB得：x₁x₂+y₁y₂=0，…③
把②式代入③式得：（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴（1+k²）•

2

k2-3

+

2k2

3-k2

+1=0，
解得k=-1，或k=1，
∴1和-1都在（-

6

，

6

）内，
∴存在实数k=±1，使得以AB为直径的圆经过坐标原点．

点评：本题考查双曲线标准方程的求法，考查满足条件的实数是否存在，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．