Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|的定义域为R，给定两集合A={a∈R|f（（12a⁴-10a²+1）（a²+2））=f（a²+2）}及B={a∈R|f（x）≥f（a），x∈R}，则集合A∩B的元素个数是

 

．

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值,交集及其运算

专题：计算题,集合

分析：f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|的几何意义是到点2014，2013，…，-2014的距离之和．因些在[-1，1]上有最小值，且为偶函数．

解答： 解：∵B={a∈R|f（x）≥f（a），x∈R}，
∴f（a）=f（x）_min；
又∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|；
由其几何意义可知，当x∈[-1，1]时，f（x）有最小值，
则B=[-1，1]．
∵f（（12a⁴-10a²+1）（a²+2））=f（a²+2），
又∵a²+2≥2；
则（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=a²+2或（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=-（a²+2）；
若（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=a²+2，则12a⁴-10a²+1=1，
即解得，a²=0或a²=

5

6

，则有三个a值且都属于B．
若（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=-（a²+2），则12a⁴-10a²+1=-1，
解得，a²=

1

3

或a²=

1

2

，则有四个a值且都属于B．
则共有7个a值．
集合A∩B的元素个数是7个．
故答案为：7．

点评：本题考查了函数的几何意义求最值，属于中档题．