Question

已知f（x）=2+log_ax（1≤x≤9），其中a满足

4	(a-2)4

＜-a2+7a-10（a∈N）求函数y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用不等式求出a的范围，利用函数的表达式化简为log₃x的二次函数，求出新函数的定义域，然后求解最大值．

解答： 解：由

4	(a-2)4

＜-a2+7a-10得：
|a-2|＜-a²+7a-10，
⇒

a≥2 a-2＜-a2+7a-10

或者

a＜2 2-a＜-a2+7a-10

解得2＜a＜4，
又a∈N，∴a=3．f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），…（4分）y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2=2(2+2log3x)-[log3x+

1

2

]2
=-(log3x)2+3log3x+

15

4

=-(log3x-

3

2

)2+6…（8分）
又∵f（x）的定义域为[1，9]，
∴要使函数y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2）有意义，
必须有

1≤x≤9 1≤x2≤9

∴1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1．
故当log₃x=0，即x=1时，y的最大值为

15

4

；
当log₃x=1，即x=3时，y的最大值为

23

4

．…（12分）

点评：本题考查不等式的解法函数的最值的求法，二次函数的性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力．