Question

在抛物线y²=2px（p＞0）上分别取纵坐标为y₁=-2，y₂=4的两点A、B，过A、B两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线l同时与抛物线和圆x²+（y+

1

2

）²=

1

5

相切，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，A（

2

p

，-2），B（

8

p

，4），可得k_AB=p，设出平行于该割线的一条直线l的方程，利用直线l同时与抛物线和圆x²+（y+

1

2

）²=

1

5

相切，即可求抛物线方程．

解答： 解：由题意，A（

2

p

，-2），B（

8

p

，4），∴k_AB=p，
设平行于该割线的一条直线l：y=px+b，即px-y+b=0，
∴

| 1 2 +b|

p2+1

=

5

5

①，
y=px+b代入y²=2px，可得p²x²+（2pb-2p）x+b²=0，
∴△=（2pb-2p）²-4p²b²=0，
∴b=

1

2

，
代入①可得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．