Question

如图，矩形的边|AB|=2，以AB为长轴作椭圆M，使得椭圆M的短轴长等于

2

|AD|．
（1）若|AD|=

2

2

，建立适当的坐标系，求椭圆M的方程；
（2）若|AD|=

2

，在椭圆M上任取一点P（异于A，B两点），连接PC，PD分别交AB于E，F两点，求|AE|²+|BF|²的值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则b=

1

2

，a=1，即可求椭圆M的方程；
（2）求出F，E的坐，即可求|AE|²+|BF|²的值．

解答： 解：（1）以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则b=

1

2

，a=1，
∴椭圆M的方程为x2+

y2

1 4

=1；
（2）设P（x₀，y₀），AD=m，则D（-1，m），C（1，m），则直线PD的方程为y-m=

y0-m

x0+1

（x+1），
直线PC的方程为y-m=

y0-m

x0-1

（x-1），
由于F，E在直线PD，PC上，且与x轴相交，
∴E（

y0-mx0

y0-m

，0），F（

-y0-mx0

y0-m

，0）．
∵A（-1，0），B（1，0），
∴|AE|²+|BF|²=

(2y0-mx0-m)2+(-2y0-mx0+m)2

(y0-m)2

，
∵b=

2

2

m，代入椭圆方程可得x02=1-

2y02

m2

，
∴|AE|²+|BF|²=4．

点评：本题考查求|AE|²+|BF|²的值，考查椭圆的方程，考查学生分析解决问题的能力．