Question

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．

(1)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；

(2)求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：，又，则是的中点，故，， 　　则， 　　设D到平面ACM的距离为，由，有，可求得， 　　设直线与平面所成的角为，则． 　　(2)可求得PC＝6．因为AN⊥NC，由，得PN． 　　所以．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的． 　　又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由⑵可知所求距离为． 　　解法二：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，； 　　设平面的一个法向量，由， 　　可得：，令，则． 　　设所求角为，则． 　　(2)由条件可得，．在中，， 　　所以，则，， 　　所以所求距离等于点到平面距离的， 　　设点到平面距离为，则，故所求距离为．