题目内容
如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．PA=PD=AD=2，点M在线段PC上 PM=| 1 | 3 |
（1）证明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．
分析：（1）证明线面平行，关键是利用线面平行的判定定理，只要证明PA平行于平面内的一条直线；
（2）证明MN⊥BQ，BC⊥BQ，MN∥PA，BC∥DA，从而空间角M-BQ-C 可以变成∠PAD=60°，故可求二面角M-BQ-C的平面角．
（2）证明MN⊥BQ，BC⊥BQ，MN∥PA，BC∥DA，从而空间角M-BQ-C 可以变成∠PAD=60°，故可求二面角M-BQ-C的平面角．
解答：
（1）证明：连接AC交BQ于N，连接MN
因为 AQ∥BC，所以△ANQ∽△BNC
∴
=
=
，∴
=
∵PM=
PC，∴PA∥MN
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（2）解：因为BQ⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以BQ⊥PA
因为PA∥MN 所以MN⊥BQ
又因为 BC∥AD 而 BQ⊥DA，所以BC⊥BQ
因为MN∥PA，BC∥DA，MN⊥BQ，BC⊥BQ
∴空间角M-BQ-C的平面角等于∠PAD，
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角为60°．
（1）证明：连接AC交BQ于N，连接MN因为 AQ∥BC，所以△ANQ∽△BNC
∴
| AQ |
| BC |
| AN |
| NC |
| 1 |
| 2 |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
∵PM=
| 1 |
| 3 |
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（2）解：因为BQ⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以BQ⊥PA
因为PA∥MN 所以MN⊥BQ
又因为 BC∥AD 而 BQ⊥DA，所以BC⊥BQ
因为MN∥PA，BC∥DA，MN⊥BQ，BC⊥BQ
∴空间角M-BQ-C的平面角等于∠PAD，
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角为60°．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定，理解面面角的定义，属于中档题．
练习册系列答案
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