Question

4．已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式；
（2）求出f（x）_min=4，关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，可得|2a+1|＞4，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）x≤-1，|x+1|+|x-3|＜6可化为-x-1-x+3＜6，∴x＞-2，∴-2＜x≤-1．
-1＜x＜3，|x+1|+|x-3|＜6可化为x+1-x+3＜6，∴-2＜x≤-1；
x≥3，|x+1|+|x-3|＜6可化为x+1+x-3＜6，∴x＜4，∴-2＜x≤-1，
综上所述，不等式的解集为{x|-2＜x＜4}；
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x+3|=4当且仅当-1≤x≤3时，等号成立，即f（x）_min=4．
∵关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，
∴|2a+1|＞4，∴a＜-2.5或a＞1.5．

点评 本题考查不等式的解法，考查不恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．