Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．
（Ⅰ）证明：DQ∥平面CPM；
（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小为 ，求∠BDC的正切值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取AB的中点E，
则 ，所以EQ∥PC．
又EQ平面CPM，所以EQ∥平面CPM．
又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，
从而DE∥平面CPM．
所以平面DEQ∥平面CPM，
故DQ∥平面CPM．
解：（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM
由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，
故CM⊥平面ABD．
由（Ⅰ）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．
所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，
即 ．
设PM=a，则 ， ，
在Rt△CMD中， ．
所以∠BDC的正切值为 ．
解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．

设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）
则 ，
设 平面ABC的一个法向量，
则 即 取
平面ABD的一个法向量为 ，
所以 ，所以
在Rt△CMD中，
所以∠BDC的正切值为 ．
【解析】（Ⅰ）取AB的中点E，则EQ∥PC，从而EQ∥平面CPM，由中位线定理得DE∥PM，从而DE∥平面CPM，进而平面DEQ∥平面CPM，由此能证明DQ∥平面CPM．（Ⅱ）法1：推导出AD⊥CM，BD⊥CM，从而CM⊥平面ABD，进而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．