Question

【题目】已知椭圆 的离心率 ，左右焦点分别为 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆 与 的延长线， 的延长线以及线段 都相切， 为一个切点.

（1）求椭圆方程；

（2）设 ，过 且不垂直于坐标轴的动点直线 交椭圆于 两点，若以 为邻边的平行四边形是菱形，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）圆为三角形内切圆，由内切圆性质及椭圆定义得，即 ，再由 ，可知（2）以 为邻边的平行四边形是菱形，所以 设 ， 方程为则可得坐标之间关系，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入坐标关系化简可得

试题解析：解：（1）设圆 与 的延长线切于点 ，与线段 切于点 ，则

， ，故 ，由 ，可知 ，椭圆方程为 .

（2）设 方程为 ，代入椭圆方程可得 ，设 ，则 ，以 为邻边的平行四边形是菱形， ， 的方向向量为 ， ， 方程为 .