Question

17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F₁、F₂构成一个以∠PF₂F₁为直角的直角三角形，求$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义得出b，c，计算出a即可得出椭圆方程；
（2）求出P，F₁，F₂三点的坐标，计算距离即可得出距离比．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
由题意得c=2，b=2$\sqrt{3}$，∴a=4．
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）设F₁（-2，0），F₂（2，0），
∵∠PF₂F₁=90°．∴PF₂⊥x轴，
不妨设P位于第一象限，则P（2，3）
∴|PF₁|=$\sqrt{（2+2）^{2}+{3}^{2}}$=5，|PF₂|=3．
∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义与简单性质，属于基础题．