Question

19．设函数f（x）=mx²-mx-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．
（1）若对任意x∈[1，3]，不等式f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=-$\frac{1}{4}$时，确定函数g（x）在区间（3，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）＜5-m，推出m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，设h（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，则当x∈[1，3]时，m＜h（x）恒成立．利用二次函数的单调性求解m的取值范围．
（2）推出g（x）=-（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x-1}$）．设x₁＞x₂＞3，则g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{1}{4}$），利用函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜5-m，得mx²-mx-1＜5-m，即m（x²-x+1）＜6．
因为x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，则m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．（3分）
设h（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，则当x∈[1，3]时，m＜h（x）恒成立．
因为y=x²-x+1在区间[1，3]上是增函数，
则h（x）在区间[1，3]上是减函数，h（x）_min=h（3）=$\frac{6}{7}$，
所以m的取值范围是（-∞，$\frac{6}{7}$）． （6分）
（2）因为f（x）=mx（x-1）-1，则g（x）=mx-$\frac{1}{x-1}$．
当m=-$\frac{1}{4}$时，g（x）=-（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x-1}$）． （7分）
设x₁＞x₂＞3，则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{4}+\frac{1}{{x}_{2}-1}$-$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$
=（x₁-x₂）（$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{1}{4}$）（10分）
因为x₁-1＞x₂-1＞2，则（x₁-1）（x₂-1）＞4，
得$\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＜$\frac{1}{4}$，
又x₁-x₂＞0，则g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），所以g（x）在区间（3，+∞）上是减函数．（13分）

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质以及函数的单调性的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．