Question

11．函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[-2，0]，则a+b=$\frac{\sqrt{3}}{3}-3$．

Answer 1

分析 由题意对底数a讨论函数f（x）=a^x+b的单调性即可求值域．

解答 解：由题意，当a＞1时，函数f（x）=a^x+b是增函数，其定义域和值域都是[-2，0]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}+b=-2}\\{{a}^{0}+b=0}\end{array}\right.$，此时a无解．
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x+b是减函数，其定义域和值域都是[-2，0]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}+b=0}\\{{a}^{0}+b=-2}\end{array}\right.$，解得：b=-3，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
那么a+b=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-3$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}-3$．

点评 本题考查指数函数的单调性，属于函数函数性质应用题，较容易．