Question

9．（1）求函数y=x（a-2x）（x＞0，a为大于2x的常数）的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²+c²=4，求ab+bc+ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，a＞2x，y=x（a-2x）=$\frac{1}{2}$×2x（a-2x），运用基本不等式即可得到所求最大值；
（2）运用重要不等式，推出2ab+2bc+2ac≤2（a²+b²+c²），即可得到所求最大值．

解答 解：（1）∵x＞0，a＞2x，
∴y=x（a-2x）=$\frac{1}{2}$×2x（a-2x）≤$\frac{1}{2}{（{\frac{2x+（a-2x）}{2}}）^2}$=$\frac{a^2}{8}$，
当且仅当x=$\frac{a}{4}$时取等号，故函数的最大值为$\frac{a^2}{8}$．
（2）∵a²+b²+c²=4，
∴2ab+2bc+2ac≤（a²+b²）+（b²+c²）+（a²+c²）=2（a²+b²+c²）=8，
∴ab+bc+ac≤4，
当且仅当a=b=c时，取得等号，
∴ab+bc+ac的最大值为4．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，以及满足的条件，考查运算能力，属于中档题．