Question

设数列{a_n}满足a₁=5，且对任意整数n，总有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，则数列{a_n}的前2015项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知利用递推思想求出数列{a_n}是以4为周期的数列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，由此能求出数列{a_n}的前2015项的和．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=5，且对任意整数n，总有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，
∴8（a₂+3）=24，解得a₂=0，
3（a₃+3）=4，解得a₃=-

5

3

，

4

3

(a4+3)=-

8

3

，解得a₄=-5，
-2（a₅+3）=-16，解得a₅=5．
∴数列{a_n}是以4为周期的数列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，
2015=503×4+3，
∴S₂₀₁₅=503×（-

5

3

）+5+0-

5

3

=-835．
故答案为：-835．

点评：本题考查数列{a_n}的前2015项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用．