Question

已知点P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1上一点，M，N是双曲线的左，右顶点，若直线PM的斜率的取值范围是[2，3]，则直线PN的斜率的取值范围是（　　）

• A、[1，

  3

  2

  ]
• B、[

  3

  2

  ，2]
• C、[

  3

  2

  ，

  5

  2

  ]
• D、[2，

  5

  2

  ]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出M、N的坐标，设点P的坐标，则点P的坐标满足椭圆的方程，计算直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值，求出PM的斜率取最值时，PN的斜率的值，即得PN的斜率的取值范围．

解答： 解：M（-2，0）、N（2，0），设点P的坐标（x，y），则有y²=3（x²-4），
直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于

y

x+2

•

y

x-2

=3，
∵PM的斜率的取值范围是[2，3]，
∴PN的斜率的取值范围为[1，

3

2

]，
故选：A．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，本题的关键是利用直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值．