Question

若函数f（x）=

x3

3

-

ax2

2

+x+1在区间（

1

2

，3）上有极值点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求导函数，有极值等价于方程有实根，利用分类讨论的思想，讨论x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）上的根的情况，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：方法一：f（x）的定义域为R，且 f′（x）=x²-ax+1．
∵f（x）=

x3

3

-

ax2

2

+x+1在区间（

1

2

，3）上有极值点，
∴f′（x）=x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）上根，
当 x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）有两个实数根时，
∴

△≥0 1 2 ＜ 1 2 a＜3 f( 1 2 )＞0 f(3)＞0

即

a2-4≥0 1 2 ＜ 1 2 a＜3 1 4 - 1 2 a+1＞0 9-3a+1＞0

解得a∈[2，

5

2

），
当 x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）有一个实数根时，
∴

△＞0 f( 1 2 )•f(3)＜0

即

a2-4＞0 ( 1 4 - 1 2 a+1)(9-3a+1)＜0

，解得a∈（

5

2

，

10

3

）
 当a=

5

2

时，x²-

5

2

x+1=0，解得x=

1

2

，x=2，其中2∈（

1

2

，3）
综上所述，实数a的取值范围为[2，

10

3

）
方法二：
由方法一可知，
f′（x）=x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）上有根，
∴ax=x²+1，
即a=x+

1

x

，等价于求x+

1

x

在（

1

2

，3）的值域，
即a=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1取等号，
此时a的最小值为2，
∴

1

2

+2=

5

2

，3+

1

3

=

10

3

，
∴a∈[2，

10

3

）．
故答案为：[2，

10

3

）．

点评：本题主要考查考查函数的极值和方程根的关系，考查学生的分类讨论的能力，属于中档题．