Question

已知点A为圆C：x²+y²-4x-6y+12=0上的动点，另外一个动点P满足PA与圆C相切，且|PA|=

3

；直线y=kx+3与点P的轨迹相交于M，N两点，若|MN|≥2

3

，则实数k的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，0]
• C、[-

  3

  ，

  3

  ]
• D、[-

  2

  3

  ，0]

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据PA与圆C相切，且|PA|=

3

，由勾股定理可得|PC|=2，可得点P的轨迹方程为 （x-2）²+（y-3）²=4．再根据|MN|≥2

3

，由弦长公式可得可得点C到直线y=kx+3的距离小于或等于

22-( 2 3 2 )2

=1，故有

|2k-3+3|

k2+1

≤1，由此求得k的范围．

解答： 解：圆C：x²+y²-4x-6y+12=0 即 （x-2）²+（y-3）²=1，表示以C（2，3）为圆心、半径等于1的圆．
再根据PA与圆C相切，且|PA|=

3

，由勾股定理可得|PC|=2，故点P的轨迹方程为 （x-2）²+（y-3）²=4．
再根据|MN|≥2

3

，由弦长公式可得可得点C到直线y=kx+3的距离小于或等于

22-( 2 3 2 )2

=1，
故有

|2k-3+3|

k2+1

≤1，求得-

3

3

≤k≤

3

3

，
故选：A．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．